체비셰프 부등식의 증명 (마코프 확률부등식을 이용)

○ 확률변수 X의 평균이 $\mu $이고, 분산 $\sigma ^2 <\infty $이면, 임의의 k>0에 대해

 $P[\left | X- \mu \right |\geq k\sigma]\, \leq \, \frac{1}{k^2}$

     이 성립한다.

 

 

○ 증명

① 먼저, 마코프 확률부등식에 대한 증명이 필요하다.

 ▶ 실함수 u(x)>0이라 하면, 확률변수 X는 임의의 상수 c>0에 대해

$P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}$

   이 성립한다.

 

 ▶ 증명 

 

② 이제, 마코프 확률부등식 $P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}$에서

이다.

 

따라서, 체비셰프 부등식은 $\sigma^2 < \infty $인 모든 확률변수에 대해 성립하며,

표준편차 $\sigma$가 존재하는 경우, 확률변수 X와 평균 $\mu$의 차이에 대한 확률의 한계를 제공한다.