정규분포에서 표본평균과 표본분산의 독립성 증명

$X_1,\, \cdots ,X_n$을 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$인 정규분포 $N(\mu,\,  \sigma^2)$에서 추출한 n개의 랜덤표본이라 하면,

이다. 이 때,

 

이다. 그리고,

 

 

이 때, $S_n^2\, =\, \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})}{n-1}$에서 $ S_n^2 $은 $ X_i-\overline{X_n} $들만의 함수이므로, 표본평균 $\overline{X_n}$과  표본분산 $S_n^2$은 서로 독립이다.