반응형 증명4 정규분포에서 표본평균과 표본분산의 독립성 증명 X1,⋯,Xn을 평균 μ, 분산 σ2인 정규분포 N(μ,σ2)에서 추출한 n개의 랜덤표본이라 하면, 이다. 이 때, 이다. 그리고, 이 때, S2n=∑ni=1(Xi−¯Xn)n−1에서 S2n은 Xi−¯Xn들만의 함수이므로, 표본평균 ¯Xn과 표본분산 S2n은 서로 독립이다. 2020. 7. 28. 체비셰프 부등식의 증명 (마코프 확률부등식을 이용) ○ 확률변수 X의 평균이 μ이고, 분산 σ20에대해P[\left | X- \mu \right |\geq k\sigma]\, \leq \, \frac{1}{k^2} 이 성립한다. ○ 증명 ① 먼저, 마코프 확률부등식에 대한 증명이 필요하다. ▶ 실함수 u(x)>0이라 하면, 확률변수 X는 임의의 상수 c>0에 대해 P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c} 이 성립한다. ▶ 증명 ② 이제, 마코프 확률부등식 P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}에서 이다. 따라서, 체비셰프 부등식은 \sigma^2 < \infty 인 모든 확률변수에 대해 성립하며, 표준편차 \sigma$가 존재하는 경우, 확률.. 2020. 7. 24. 선형결합된 확률변수의 적률생성함수는 어떤 모양을 가질까? ○ 선형결합된 확률변수의 적률생성함수(Moment Generating Function, mgf) ○ Y\, =\, \sum_{i=1}^{n}X_{i}(x의 합), \overline{X}\, =\, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}(x의 평균)의 적률생성함수(Moment Generating Function, mgf) ○ 예제 1) 베르누이분포 선형결합 → 이항분포의 적률생성함수 ○ 예제 2) 지수분포 선형결합 → 감마분포의 적률생성함수 ○ 예제 3) 카이제곱분포의 적률생성함수 ○ 예제 4) 표준정규분포에서의 적률생성함수 2020. 6. 30. 표본분산 공식에서 n 대신 n-1을 사용하는 이유 표본분산 공식 s^2\, =\, \frac{\sum (x_{i}-\overline{x})^2}{n-1} 에서 분모는 왜 n이 아니라 n-1일까? 이는 \sum (x_{i}-\overline{x})^2을 n-1로 나누어야 표본분산의 기대치가 모분산이 되기 때문이다. (n-1을 사용해야 표본분산이 모분산의 불편추정치가 된다!) 모평균과 모분산이 \mu,\: \sigma ^2를 따르는 분포에서 관측한 x_{1},\: \cdots ,\: x_{n}에 대하여 표본평균은 \overline{x}\: = \: \frac{\sum x_{i}}{n}이고, 표본평균의 평균과 분산은 $E(\overline{x})\: = \: \mu ,\:\: Var(\overline{x})\: =\: \frac{\sig.. 2020. 6. 13. 이전 1 다음 반응형
