정규분포에서 표본평균과 표본분산의 독립성 증명
$X_1,\, \cdots ,X_n$을 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$인 정규분포 $N(\mu,\, \sigma^2)$에서 추출한 n개의 랜덤표본이라 하면, 이다. 이 때, 이다. 그리고, 이 때, $S_n^2\, =\, \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})}{n-1}$에서 $ S_n^2 $은 $ X_i-\overline{X_n} $들만의 함수이므로, 표본평균 $\overline{X_n}$과 표본분산 $S_n^2$은 서로 독립이다.
2020. 7. 28.
체비셰프 부등식의 증명 (마코프 확률부등식을 이용)
○ 확률변수 X의 평균이 $\mu $이고, 분산 $\sigma ^2 0에 대해 $P[\left | X- \mu \right |\geq k\sigma]\, \leq \, \frac{1}{k^2}$ 이 성립한다. ○ 증명 ① 먼저, 마코프 확률부등식에 대한 증명이 필요하다. ▶ 실함수 u(x)>0이라 하면, 확률변수 X는 임의의 상수 c>0에 대해 $P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}$ 이 성립한다. ▶ 증명 ② 이제, 마코프 확률부등식 $P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}$에서 이다. 따라서, 체비셰프 부등식은 $\sigma^2 < \infty $인 모든 확률변수에 대해 성립하며, 표준편차 $\sigma$가 존재하는 경우, 확률..
2020. 7. 24.
