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각종공부/통계

중심극한정리 증명 - 적률생성함수, 테일러급수만 알면 끝!

by 달슬 2020. 7. 12.
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○ 중심극한정리란?

¯x는 유한한 평균 μ와 유한한 양의 분산 σ2을 갖는 분포에서 추출한 크기가 n인 확률표본 X1,,Xn의 평균이라 하면

W=¯Xμσn=ni=1Xinμnσ의 분포는 n일 때 근사적으로 N(0, 1)이 된다.

○ 증명

※ 사전지식

① 예제로 알아보는 적률생성함수(Moment Generating Function, mgt) 게시글

https://eclipse360.tistory.com/38

 

예제로 알아보는 적률생성함수(Moment Generating Function)

○ 적률생성함수(Moment Generating Function, mgf, M(t))를 쓰는 이유 → 어떤 분포들은 평균과 분산을 구하기 위해 직접 E(X)E(X2)를 계산하기 어렵다. 이 경우 적률생성함수는 평균과 분산을 구하기

eclipse360.tistory.com

② 선형결합된 확률변수의 적률생성함수는 어떤 모양을 가질까?

https://eclipse360.tistory.com/39

 

선형결합된 확률변수의 적률생성함수는 어떤 모양을 가질까?

○ 선형결합된 확률변수의 적률생성함수(Moment Generating Function, mgf) ○ Y=ni=1Xi(x의 합), ¯X=1nni=1Xi(x의 평균)의 적률생성함수(M..

eclipse360.tistory.com

따라서,

W=¯Xμσn=ni=1Xinμnσ 의 극한분포는 평균 0, 분산 1인 정규분포를 따른다.

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