중심극한정리 증명 - 적률생성함수, 테일러급수만 알면 끝!

○ 중심극한정리란?

$\overline{x}$는 유한한 평균 $\mu$와 유한한 양의 분산 $\sigma ^2$을 갖는 분포에서 추출한 크기가 n인 확률표본 $X_{1},\, \cdots ,\, X_{n}$의 평균이라 하면

$W\, =\, \frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\, =\, \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}\, -\, n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$의 분포는 $n \to \infty $일 때 근사적으로 N(0, 1)이 된다.

○ 증명

※ 사전지식

① 예제로 알아보는 적률생성함수(Moment Generating Function, mgt) 게시글

https://eclipse360.tistory.com/38

예제로 알아보는 적률생성함수(Moment Generating Function)

② 선형결합된 확률변수의 적률생성함수는 어떤 모양을 가질까?

https://eclipse360.tistory.com/39

선형결합된 확률변수의 적률생성함수는 어떤 모양을 가질까?

따라서,

$W\, =\, \frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\, =\, \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}\, -\, n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$ 의 극한분포는 평균 0, 분산 1인 정규분포를 따른다.