체비셰프 부등식의 증명 (마코프 확률부등식을 이용)
○ 확률변수 X의 평균이 $\mu $이고, 분산 $\sigma ^2 0에 대해 $P[\left | X- \mu \right |\geq k\sigma]\, \leq \, \frac{1}{k^2}$ 이 성립한다. ○ 증명 ① 먼저, 마코프 확률부등식에 대한 증명이 필요하다. ▶ 실함수 u(x)>0이라 하면, 확률변수 X는 임의의 상수 c>0에 대해 $P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}$ 이 성립한다. ▶ 증명 ② 이제, 마코프 확률부등식 $P[u(X)\geq c]\, \leq \, \frac{E[u(X)]}{c}$에서 이다. 따라서, 체비셰프 부등식은 $\sigma^2 < \infty $인 모든 확률변수에 대해 성립하며, 표준편차 $\sigma$가 존재하는 경우, 확률..
2020. 7. 24.
중심극한정리 증명 - 적률생성함수, 테일러급수만 알면 끝!
○ 중심극한정리란? $\overline{x}$는 유한한 평균 $\mu$와 유한한 양의 분산 $\sigma ^2$을 갖는 분포에서 추출한 크기가 n인 확률표본 $X_{1},\, \cdots ,\, X_{n}$의 평균이라 하면 $W\, =\, \frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\, =\, \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}\, -\, n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$의 분포는 $n \to \infty $일 때 근사적으로 N(0, 1)이 된다. ○ 증명 ※ 사전지식 ① 예제로 알아보는 적률생성함수(Moment Generating Function, mgt) 게시글 https://eclipse360.tistory.com/38 예제로 알아..
2020. 7. 12.
[파이썬] 행렬에 행 추가 & 행 합치기 하는 방법(numpy.vstack)
파이썬에서 단순 array라면, append를 통해 A = [] A.append([1, 2, 3]) A.append([4, 5, 6]) A = np.array(A) print(A) [[1 2 3] [4 5 6]] 라는 결과를 쉽게 얻을 수 있겠지만. numpy 라이브러리에서는 행렬에 append가 적용되지 않습니다. 하지만, numpy 라이브러리의 행렬에서도 numpy.vstack를 통해 행을 추가할 수 있습니다. import numpy as np A = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8]]) B = np.array([[9,10,11,12],[13,14,15,16]]) C = np.vstack([A, B]) print(A) print(B) print('\n') print(C) A는 [[..
2020. 6. 27.
