[C++]프로젝트 오일러 18번 문제&풀이 (삼각형을 따라 내려가면서 합이 최대가 되는 경로 찾기)

문제 18번

다음과 같이 삼각형 모양으로 수를 배열했습니다.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

삼각형의 꼭대기부터 아래쪽으로 인접한 수를 찾아 내려가면서 합을 구하면, 위의 그림처럼 3 + 7 + 4 + 9 = 23 이 가장 큰 합을 갖는 경로가 됩니다.

다음 삼각형에서 합이 최대가 되는 경로를 찾아서 그 합을 구하세요.

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

참고: 여기서는 경로가 16384개밖에 안되기 때문에, 모든 경로의 합을 일일이 계산해서 답을 구하는 것이 가능합니다.
하지만 67번 문제에는 100층짜리 삼각형 배열이 나옵니다. 그런 경우에는 좀 더 현명한 풀이 방법을 찾아야겠지요.

 

접근방법

1. 위에서 아래로 모든 경로들의 합을 각각 비교하는 것은 비효율적이다. 동적계획법(dynamic programming)을 사용한다!

2. 모든 숫자가 담겨 있는 배열(num_array)와, 제일 밑 행의 숫자만 담겨 있는 배열(copy_array)를 만든다.

3. 윗 행으로 올라갈 때, 옆의 숫자와 비교했을 때 큰 숫자만 더해준다.

(아래 그림에서 15번째 행 첫번째 값이 4, 두번째 값이 62로, 더 큰 값인 62를 위로 올려보낸다. 14번째 행 입장에서는 15번째 행으로 내려올 때 둘 중 큰 숫자의 경로를 선택할 것이기 때문이다.)

4. 같은 방식으로 첫번째 행까지 반복하면 끝!

 

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int num_array[15][15] =
    {
        {75},
        {95, 64},
        {17, 47, 82},
        {18, 35, 87, 10},
        {20, 4, 82, 47, 65},
        {19, 1, 23, 75, 3, 34},
        {88, 2, 77, 73, 7, 63, 67},
        {99, 65, 4, 28, 6, 16, 70, 92},
        {41, 41, 26, 56, 83, 40, 80, 70, 33},
        {41, 48, 72, 33, 47, 32, 37, 16, 94, 29},
        {53, 71, 44, 65, 25, 43, 91, 52, 97, 51, 14},
        {70, 11, 33, 28, 77, 73, 17, 78, 39, 68, 17, 57},
        {91, 71, 52, 38, 17, 14, 91, 43, 58, 50, 27, 29, 48},
        {63, 66, 4, 68, 89, 53, 67, 30, 73, 16, 69, 87, 40, 31},
        {4, 62, 98, 27, 23, 9, 70, 98, 73, 93, 38, 53, 60, 4, 23}
    };

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 15; j++)
        {
            cout << num_array[i][j] << "\t";
        }
        cout << endl;
    }

    cout << endl;

    int copy_array[15][15] = { 0 };

    for (int i = 14; i < 15; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 15; j++)
        {
                copy_array[i][j] = num_array[i][j];
        }
    }

    for (int i = 14; i > 0; i--)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            if (copy_array[i][j] >= copy_array[i][j + 1])
            {
                copy_array[i - 1][j] = num_array[i - 1][j] + copy_array[i][j];
            }
            else
            {
                copy_array[i - 1][j] = num_array[i - 1][j] + copy_array[i][j+1];
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 15; j++)
        {
            cout << copy_array[i][j] << "\t";
        }
        cout << endl;
    }

    cout << endl;
    cout << "Answer is : " << copy_array[0][0] << endl;

    return 0;
}

참고

ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8F%99%EC%A0%81_%EA%B3%84%ED%9A%8D%EB%B2%95

동적 계획법 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

https://github.com/mannlim/ProjectEuler

mannlim/ProjectEuler