예제로 알아보는 적률생성함수(Moment Generating Function)

○ 적률생성함수(Moment Generating Function, mgf, M(t))를 쓰는 이유

→ 어떤 분포들은 평균과 분산을 구하기 위해 직접 $E(X)$와 $E(X^2)$를 계산하기 어렵다. 이 경우 적률생성함수는 평균과 분산을 구하기 위한 좋은 방법이 된다.

→ 적률생성함수는 적률을 생성하는 것 이외에도 '유일성'을 지닌다. 다시말해, 적률생성함수는 확률변수의 분포를 유일하게 결정한다.(mgf가 존재하면, mgf에 대응되는 오직 하나의 확률분포가 존재한다.)

→ 중심극한정리(Central Limit Theorem) 증명의 핵심 도구이다.

 

○ 적률생성함수 정의

 

 

○ 적률생성함수 예제1

 

○ 적률생섬함수 예제2 : 기하분포인 경우